GUÍA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO - Desarrollo

GUÍA DE ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

Definición

Es una IGUALDAD en que intervienen cantidades conocidas (números o expresiones literales) y cantidades desconocidas (incógnitas) cuyo valor debe determinarse.

ax + b = 0

Esta igualdad se satisface sólo para determinados valores de la incógnita, toda ecuación de primer grado con una incógnita, tiene sólo una solución.

Ejemplo:

3x – 5 = 2x + 7 / Sumamos a ambos lados de la igualdad -2x + 5

3x-5-2x+5 = 2x + 7 - 2x + 5 sumando términos semejantes tenemos:

x = 12

Comprobando el valor de la incógnita en la ecuación se tiene:

3 · 12 – 5 = 2 · 12 + 7 / Resolviendo

36 – 5 = 24 + 7

31 = 31 Se obtiene una igualdad, luego el valor de la incógnita es el correcto.

1) Resuelva las ecuaciones que se indican:

1. 10x – 3(x – 3) = 5x + 6
2. 3(x – 1) + 2(x + 1) = 3x + 12
3. 2(x – 1) = x + 7
4. 3(5x – 1) – 5(3x – 1) = 6x
5. 3(4x – 6) + 8 = 2x + 3
6. 6x(7 – x) = 36 – 2x(3x - 15)
7. 2x(x + 7) – 90 = 5x (x – 7) – x(3x - 4)

SOLUCIÓN

1. 10x – 3(x – 3) = 5x + 6

10x – 3x + 9 = 5x + 6

10x - 3x – 5x = - 9+ 6

2x = - 3

x = - 3/2

Comprobación

10x – 3(x – 3) = 5x + 6
10 (- 3/2) – 3 ( -3/2 – 3) = 5(-3/2) + 6
- 30/2 – 3 (- 9/2) = - 15/2 + 6
- 15 + 27/2 = - 3/2
-3/2 = -3/2

2. 3(x – 1) + 2(x + 1) = 3x + 12

3x – 3 + 2x + 2 = 3x + 12

2x = 13

x = 13/2

Comprobación

3(x – 1) + 2(x + 1) = 3x + 12
3(13/2 – 1) + 2(13/2 + 1) = 3 (13/2) + 12
3( 11/2) + 2( 15/2) = 39/2 + 12
33/2 + 15 = 63/2 /2
33 + 30 = 63
63 = 63

3. 2(x – 1) = x + 7
   2x – 2 = x + 7
   x = 9

Comprobación

2(x – 1) = x + 7
2(9 – 1) = 9 + 7
2(8) = 16
16 = 16
3. 3(5x – 1) – 5(3x – 1) = 6x
   15x – 3 – (15x – 5 ) = 6x
   15x – 3 – 15x + 5 = 6x
   2 = 6x
   x = 1/3

Comprobación

3(5x – 1) – 5(3x – 1) = 6x
3[5(1/3) – 1]- 5[3(1/3) – 1] = 6(1/3)
3(5/3 – 1) – 5 (3/3 – 1) = 2
3( 2/3) – 5( 0/3) = 2
2 = 2
4. 3(4x – 6) + 8 = 2x + 3
   12x – 18 + 8 = 2x + 3
   10x = 13
   x = 13/10

Comprobación

3(4x – 6) + 8 = 2x + 3
12(13/10) – 18 + 8 = 2 (13/10) + 3
156 /10 – 10 = 13/5 + 3
56/ 10= 28/5
28/5 = 28/5
5. 6x(7 – x) = 36 – 2x(3x – 15)
   42x – 6x² =36 – 6x² + 30x
   12x = 36
   x = 3

Comprobación

6x(7 – x) = 36 – 2x(3x – 15)
6(3)[7 – 3] = 36 – 2(3)[3(3) – 15]
18(4) = 36 – 6(- 6)
72 = 72

7. 2x(x + 7) – 90 = 5x (x – 7) – x(3x – 4)
   2x² + 14x – 90 = 5x² - 35x – 3x² +4x
   2x² + 14x – 90 = 2x² - 31x
   45x = 90
   x = 2

Comprobación

8. 2x(x + 7) – 90 = 5x (x – 7) – x(3x – 4)
   2(2)[2 + 7] – 90 = 5 (2)[2 - 7 ] - 2[3(2) – 4]
   4(9) – 90 = 10(- 5) – 2(2)
   - 54 = - 54

2) El valor de x en la ecuación 4x – 3 = 3 + x es:

A) 5

B) 2

C) 0

D)-2

E)-3

SOLUCIÓN

4x – 3 = 3 + x

4x – x = 3 + 3

3x = 6

x = 2

3) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones, tiene como solución x = 3?

A) 3x – 4 = 8

B) 5x – 6 = 9

C) 6x – x = 10

D)3x – 8 = 8

E)4x – 4 = 0

SOLUCIÓN

A) 3x – 4 = 8

3x = 12

x = 4

B) 5x – 6 = 9

5x = 15

x = 3

4) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es de primer grado?

A) (x + 2)² – 3x²= x² + 7x

B) (x² – 7x + 3) – x – 8 = 0

C) x (x + 5) = 2x + 8

D) (x + 1)(x – 1) = x² – 2x + 3x²

E) (x – 1)(x + 2) – x² = 7 (x - 3)

SOLUCIÓN

A) (x + 2)² – 3x² = x² + 7x

x² + 4x + 4 - 3x² = x² + 7x

• 3x² – 3x + 4 = 0

B) (x² – 7x + 3) – x – 8 = 0

x² – 7x + 3 - x – 8 = 0

x² – 8x – 5 = 0

C) x (x + 5) = 2x + 8

x² + 5x = 2x + 8

x² + 3x – 8 = 0

D) (x + 1)(x – 1) = x² – 2x + 3x²

x² – 1² = 4x² – 2x

• 3x² + 2x – 1 = 0 / - 1
  +3x² - 2x + 1 = 0

E) (x – 1)(x + 2) – x² = 7 (x – 3)

x² + x (- 1 + 2) + (-1)(2) - x² = 7x - 21

x² + x – 2 – x² - 7x = – 21

• 6x = 19 / -1
  +x = 19/6

5) Si 3 (1 + x) = 2 (1 – x), entonces el valor de x es:

A) 1/5

B) 0,25

C)- 1/5

D) 5

E) -1

SOLUCIÓN

3 (1 + x) = 2 (1 – x)

3 + 3x = 2 – 2x

5x = - 1

x = - 1/5

Comprobación

3 (1 + x) = 2 (1 – x)

3(1 – 1/5) = 2(1 - (-1/5))

3(4/5) = 2 ( 6/ 5)

12/5 = 12/5

6) Si x/5 + 2 = 1 ; x es igual a :

A) 0

B) 1/5

C) 5

D) – 1/5

E) - 5

SOLUCIÓN

x/5 + 2 = 1 /5

x + 10 = 5

x = - 5

Comprobación

x/5 + 2 = 1

-5/5 + 2 = 1

1 = 1

7) Si 3x + 5 – x² = (x + 3)(5 – x), entonces x = ?

A) - 3

B) 5

C) 10

D) 0

E) 8

SOLUCIÓN

3x + 5 – x² = (x + 3)(5 – x)

3x + 5 – x² = 5x – x² + 15 – 3x

3x + 5 - x² = 2x – x² + 15

x = 10

Comprobación

3x + 5 – x² = (x + 3)(5 – x)

3(10) + 5 – (10)² = (10+ 3)(5 – 10)

30 + 5 – 100 = (13)(- 5)

35 – 100 = - 65

• 65 = - 65

8) ¿Qué valor debe tener x, para que se cumpla 2(4x +1)=3(4x– 1)?

A) 5

B) 4/5

C) 3/2

D) 2/3

E) 5/4

SOLUCIÓN

2(4x +1) = 3(4x– 1)

8x + 2 = 12x – 3

5 = 4x

x = 5/4

Comprobación

2(4x +1) = 3(4x– 1)

2[4(5/4) + 1] = 3[4(5/4) – 1]

2(5 + 1) = 3(5 – 1)

12 = 12

9) El valor de a en la ecuación 3 (4a – 5) = 4 (2 – 3a) es:

SOLUCIÓN

3 (4a – 5) = 4 (2 – 3a)

A) - 23

B) 0

C) 23/24

D) 23

E) 25

SOLUCIÓN

3 (4a – 5) = 4 (2 – 3a)

(12a - 15) = (8 – 12a)

24a = 23

a = 23/24

Comprobación

3 (4a – 5) = 4 (2 – 3a)

3[4(23/24) – 5 ]= 4 [2 – 3(23/24)]=

3(23/6 – 5) = 4 (2 – 23/8)

3 ( - 7/ 6) = 4 ( - 7/ 8)

• 7/2 = - 7/2

10) En la ecuación 4 (x – 2) = 5 (2 – 3x), x vale:

A) 4/5

B) 19/18

C) 3/4

D) 4/3

E) 18/19

SOLUCIÓN

4 (x – 2) = 5 (2 – 3x)

4x – 8 = 10 – 15x

19x = 18

x = 18/19

11) Resuelva las ecuaciones que se indican:

1. 10x – 3(x – 3) = 5x + 6
2. 3(x – 1) + 2(x + 1) = 3x + 12
3. 2(x – 1) = x + 7
4. 3 (5x – 1) – 5 (3x – 1) = 6x
5. 3(4x – 6) + 8 = 2x + 3
6. 6x(7 – x) = 36 – 2x(3x – 15)
7. 2x(x + 7) – 90 = 5x(x – 7) – x(3x – 4)

SOLUCIÓN

10x – 3(x – 3) = 5x + 6

10X – 3X + 9 = 5X + 6

2X = - 3

X = -3/2

COMPROBACIÓN

10x – 3(x – 3) = 5x + 6
10(-3/2) – 3[(- 3/2) – 3] = 5(-3/2) + 6
-30/2 – 3(-9 /2) = - 15/2 + 6 / . 2
- 30 + 27 = - 15 + 12
-3 = -3

3(x – 1) + 2(x + 1) = 3x + 12

SOLUCIÓN

3(x – 1) + 2(x + 1) = 3x + 12
3x – 3 + 2x + 2 = 3x + 12
2x = 13
x = 13/2

Comprobación

3(x – 1) + 2(x + 1) = 3x + 12

3[(13/2) – 1] + 2[(13/2 + 1)] = 3(13/2) + 12

3( 11/ 2) + 2( 15/2) = 39/2 + 12 /.2

33 + 30 = 39 + 24

63 = 63

2(x – 1) = x + 7

2x – 2 = x + 7

x = 9

COMPROBACIÓN

2(x – 1) = x + 7

2(9) – 2 = (9) + 7

16 = 16

3 (5x – 1) – 5 (3x – 1) = 6x

15x – 3 – (15x – 5) = 6x

15x – 3 – 15x + 5 = 6x

2 = 6x

x = 1/3

COMPROBACIÓN

3 (5x – 1) – 5 (3x – 1) = 6x
3[5(1/3) – 1]- 5[3(1/3) – 1] = 6(1/3)
3[5/3 – 1]- 5 [0]= 2
3( 2/3) = 2
2 = 2

3(4x – 6) + 8 = 2x + 3

12x – 18 + 8 = 2x + 3

10x = 13

x = 13/10

COMPROBACIÓN

3(4x – 6) + 8 = 2x + 3
3[4(13/10) – 6]+8 = 2(13/10) + 3
3( 52/10 – 6) + 8 = 26/10 + 3
3( - 8/10) + 8 = 56/10
- 24/10 + 8 =56/10

56/10 = 56/10

6x(7 – x) = 36 – 2x(3x – 15)

42x – 6x² = 36 – (6x² – 30x)

42x – 6x² = 36 – 6x² + 30x

12x = 36

x = 3

COMPROBACIÓN

6x(7 – x) = 36 – 2x(3x – 15)

6(3)[7 – 3]= 36 – 2(3)[3(3) – 15]

18(4) = 36 – 6(- 6)

72 =72

2x(x + 7) – 90 = 5x(x – 7) – x(3x – 4)

2x² + 14x – 90 = 5x² – 35x – 3x² + 4x

2x² + 14x – 90 = 2x² – 31x

45x = 90

x = 2

C0MPROBACIÓN

2x(x + 7) – 90 = 5x(x – 7) – x(3x – 4)

2(2)[(2) + 7] – 90 = 5(2)[2 – 7] - 2 [3(2) – 4]

4(9) – 90 = 10(- 5) – 2 (2)

36 – 90 = - 50 – 4

- 54 = - 54

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DESARROLLO DE PARÉNTESIS

Para resolver este tipo de ecuacionesse debe desarrollar los paréntesis y posteriormente encontrar el valor de la incógnita.

Ejemplo:

1) x – [5 + 3x- (5x – 6 – x)]= -5 resolviendo paréntesis

x – [5 + 3x – 4x + 6] = -5 resolviendo paréntesis

x – 11 + x = - 5 /+11

2x = 6 /: 3

x = 3

2) 2(x – 3) = 3(x + 2) resolviendo paréntesis

2x – 6 = 3x + 6

-12 = x

EJERCICIOS RESUELTOS

1) La solución de la ecuación x – [x – 4 – (4x – 1) + x]+ 3 = 0 es:

A) 4

B) 2

C) 0

D) - 2

E) – 4

SOLUCIÓN

x – [x – 4 – (4x – 1) + x]+ 3 = 0

x – [x – 4 – 4x + 1 + x]+ 3= 0

x – x + 4 + 4x - 1 - x+ 3= 0

3x = - 6

x = - 2

2) En la expresión x + [x - {- (- x + 1)}]= 5, x vale:

A) 2

B) 3

C) 0

D) 4

E) 5

SOLUCIÓN

x + [x - {- (- x + 1)}]= 5

x + [x – {x – 1}]= 5

x + (x – x + 1) = 5

x = 4

COMPROBACIÓN

x + [x - {- (- x + 1)}]= 5

4 + [4 - {- (- 4 + 1)}]= 5

4 + [4 – {4 – 1}]= 5

4 + (4 – 4 + 1) = 5

5 = 5

3) Resuelva los paréntesis y encuentre la solución de las ecuaciones que se indican:

a) (x – 1)[x – 2(x – 3)] = x (1 – x)

b) 7x – 3[2x – 5(x – 2) – 3] = 2(x – 1)

c) 2x - [- x + 3(x + 2)]= 4x – 1

d) 2x - [- 2x + 3(x + 2)] = 6x – 1

e) (2x – 1)[x – 2(x – 3)]= - 2x²

f) 5x + 1 – [1 + 2(x – 1)] = 3[1 – (2x – 3)]

g) x + 4 – 2[(1 + x)] = 2 – x

SOLUCIÓN

(x – 1)[x – 2(x – 3)] = x (1 – x)

(x – 1)[x – 2x + 6)] = x – x²

(x – 1)[- x + 6)] = x – x²

- x ² + 6x + x - 6 = x – x²

6x = 6

x = 1

COMPROBACIÓN

(x – 1)[x – 2(x – 3)] = x (1 – x)

(1 – 1)[ 1 – 2(1 – 3)] = 1(1 – 1)

0 = 0

b) 7x – 3[2x – 5(x – 2) – 3] = 2(x – 1)

7x – 3 [2x – (5x – 10) – 3] = (2x – 2)

7x – 3 (2x - 5x + 10 – 3) = 2x - 2

7x – 3 (- 3x + 7) = 2x - 2

7x – ( - 9x + 21) = 2x – 2

7x + 9x - 21 = 2x – 2

14x = 19

x = 19/14

COMPROBACIÓN

b) 7x – 3[2x – 5(x – 2) – 3] = 2(x – 1)

7(19/14) – 3[2(19/14) – {5((19/14) – 2)} – 3] = 2[(19/14) – 1)]

133/14 – 3[19/7 - 5 {-9 /14 } - 3] = 2 [5/14 ]

133/14 - 3[19/7 + 45/14 - 3] = 5/7

133/14 - 57/7 135/14 + 9 = 5/7 /. 14

133 – 114 – 135 + 126 = 10

259 - 249 = 10

10 = 10

c) 2x - [- x + 3(x + 2)]= 4x – 1

SOLUCIÓN

c) 2x - [- x + 3(x + 2)]= 4x – 1

2x - [- x + (3x + 6)] = 4x – 1

2x – x – 3x – 6 = 4x – 1

- 2x – 6 = 4x – 1

6x = - 5

x = - 5/6

COMPROBACIÓN

c) 2x - [- x + 3(x + 2)]= 4x – 1

2(- 5/6) - [{5/6} + 3({- 5/6} + 2] = 4(- 5/6) - 1

- 5/3 - [{5/6} + 3({7/6} ] = 2(- 5/3) - 1

- 5/3 - [5/6 + 7/2] = - 10/3 - 1

• 5/3 - [26/6 ] = - 10/3 – 1

-36/6 = - 13/3

-13/3 = -13/3

d) 2x - [- 2x + 3(x + 2)] = 6x – 1

2x – [2x + 3x + 6] = 6x - 1

2x – [5x + 6] = 6x – 1

2x – 5x – 6 = 6x – 1

9x = - 5

x = - 5/9

COMPROBACIÓN

2x - [- 2x + 3(x + 2)] = 6x – 1

2(-5/9)- [2{-5/9} + 3 ({- 5/9} + 2) = 6 {- 5/9} - 1

- 10/9 - [- 10 /9 + 3(13)/9 ]= - 30/9 - 1

- 10/9 - [ - 10/9 + 39 /9 ]= - 39/9 /.9

- 10/9 - [29/9 ] = - 39/9

• 39/9 = - 39/9

e) (2x – 1)[x – 2(x – 3)]= - 2x²

(2x – 1)[x – 2x + 3)]= - 2x²

(2x – 1)(- x + 3) = - 2x²

- 2x² + 6x - x – 3 = - 2x²

5x = 3

x = 3/5

COMPROBACIÓN

e) (2x – 1)[x – 2(x – 3)]= - 2x²

f) 5x + 1 – [1 + 2(x – 1)] = 3[1 – (2x – 3)]

5x + 1 – [1 + 2x – 2] = 3[1 – 2x + 3]

5x + 1 – [ 2x – 1] = 3[– 2x + 2]

5x + 1 – 2x + 1 = – 6x + 6

3x + 2 = - 6x + 6

9x = 4

x = 4/9

COMPROBACIÓN

f) 5x + 1 – [1 + 2(x – 1)] = 3[1 – (2x – 3)]

5x + 1 – [1 + 2x – 2] = 3[1 – 2x + 3]

5x + 1 - (- 1 + 2x) = 3(4 – 2x)

5x + 1 + 1 – 2x = 12 – 6x

9x = 10

x = 10/9

COMPROBACIÓN

f) 5x + 1 – [1 + 2(x – 1)] = 3[1 – (2x – 3)]

5 (10/9) + 1 – {1 + 2[10 – 1/9]} = 3{1 – [2(10/9) - 3]}

50/9 + 1 – {1 + 2/9} = 3{1 – [20/9 – 3]}

50/9 + 1 – 11/9 = 3{1 – [– 7/9]}

50/9 + 1 – {11/9} = 3{1 + 7/9}

50/9 + 1 – 11/9 = 3{16/9}

50/9 + 1 – 11/9 = 48/9 /. 9

50 + 9 – 11 = 48

59 – 11 = 48

48 = 48

g) x + 4 – 2[(1 + x)] = 2 – x

SOLUCIÓN

g) x + 4 – 2[(1 + x)] = 2 – x

x + 4 – (2 + 2x) = 2 – x

x + 4 – 2 + 2x = 2 – x

4x = 0

x = 0

COMPROBACIÓN

g) x + 4 – 2[(1 + x)] = 2 – x

0 + 4 – 2 [1 + (0)]= 2 – 0

4 – 2 = 2

2 = 2

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON PRODUCTOS NOTABLES:

Para resolver estas ecuaciones se deben resolver primero los productos notables que exista y luego encontrar el valor de la incógnita.

Ejemplo:

1) (6x + 5)(x – 1) = (2x – 3)(3x + 5)

(6x² – 6x + 5x – 5) = (6x² + 10x – 9x – 15)

6x² – x – 5 = 6x² + x - 15

10 = 2x

x = 5

2) (x – 2)² – (3 – x)² = 1

(x – 2)² – (3 – x)² = 1

x² - 4x + 4 - ( 9 – 6x + x²) = 1

x² - 4x + 4 – 9 + 6x – x² = 1

+ 2x = 6
x = 3

EJERCICIOS RESUELTOS

1) Para que se cumpla la igualdad. (x – 3)(x + 4) = x² , x = ?

A) 12

B) 3

C) 4

D) 6

E) 0

SOLUCIÓN

(x – 3)(x + 4) = x²

x² + x (- 3 + 4) + (- 3)(4)= x²

x² + x - 12= x²

x = 12

2) En la ecuación (x + 2)(x - 2) = (x + 4)² , x es igual a:

A) 5

B) 5/2

C) - 5

D) – 5/2

E) - 2

SOLUCIÓN

(x + 2)(x - 2) = (x + 4)²

x² – 2² = x² + 8x + 16

• 4 -16 = 8x
• 20/8 = x
• 5/2 = x

3. Resuelva y encuentre la solución de las ecuaciones con productos notables que se indica:

a) (x + 3)² – 2[x (1 + x)] = x(2 – x)

b) (6x - 3) (2x + 4) = 12(x²+ 1)

c) (5x + 3)² + (8x + 15)(3x – 16) = (7x - 8)²

d) 3(x² + 5x + 2) = 3(x + 2)²

e) (x + 3)² – (x – 1)² = 7x

f) 2(x - 4)² – (x - 2)² = (x – 8)²

g) (6x + 5)² = (10x - 3)² - (16x + 1)(4x – 1)

SOLUCIÓN

a) (x + 3)² – 2[x (1 + x)] = x(2 – x)

x² + 6x + 9 – 2(x + x²) = 2x – x²

x² + 6x + 9 – 2x – 2x² = 2x – x²

2x = - 9

x = - 9/2

COMPROBACIÓN

(x + 3)² – 2[x (1 + x)] = x(2 – x)

(- 9 /2+ 3)² - 2I- 9 /2(1 – 9/2)]= - 9/2 (2 + 9/2)

( - 3/2)² - 2 [- 9/2(- 7/2)]= -9 (13_) /2

( - 3/2)² - [63/2)]= - 117/4

9/4 - 63/4 = - 117/4 /. 4

9 - 126 = - 117

- 117 = - 117

b) (6x - 3) (2x + 4) = 12(x²+ 1)

12x² + 24x – 6x – 12 = 12x² + 12

18x = 24

x = 24/18

x = 4/3

COMPROBACIÓN

b) (6x - 3) (2x + 4) = 12(x²+ 1)

[6( 4/3) – 3][2( 4/3) + 4] = 12[( 4/3)² + 1]

(24/3 - 3)(8/3 + 4) = 12(16/9 + 1)

(5)(20/3) = 12(25/9)

100/3 = 300/9

100/3 = 100/3

c) (5x + 3)² + (8x + 15)(3x – 16) = (7x – 8)²

25x² + 30x + 9 + 24x² – 128x + 45x – 240 = 49x² – 112x + 64

59x = 295

x = 5

COMPROBACIÓN

(5x + 3)² + (8x + 15)(3x – 16) = (7x – 8)²

[5(5) + 3]² + [8(5) + 15][3(5) – 16] = [7(5) – 8]²

[25 + 3]² + [40 + 15][15 – 16] = [35 – 8]²

(28)² + (55)(- 1) = (27)²

784 – 55 = 729

729 =729

d) 3(x² + 5x + 2) = 3(x + 2)²

3x² + 15x + 6 = 3(x² + 4x + 4)

3x² + 15x + 6 = 3x² + 12x + 12

3x = 6

x = 2

COMPROBACIÓN

3(x² + 5x + 2) = 3(x + 2)²

3[(2)² + 5(2) + 2] = 3[(2) + 2]²

3[4+ 10 + 2] = 3[4]²

3[16] = 3[4]²

48 = 48

e) (x + 3)² – (x – 1)² = 7x

x² + 6x + 9 – (x² – 2x + 1) = 7x

8x + 8 = 7x

x = - 8

COMPROBACIÓN

(x + 3)² – (x – 1)² = 7x

[(- 8) + 3]² – [(- 8) – 1]² = 7(- 8)

(- 5)² - (- 9)² = - 56

25 – 81 = - 56

- 56 = - 56

f) 2(x - 4)² – (x - 2)² = (x – 8)²

2( x² – 8x + 16) – (x² – 4x + 4) = x² – 16x + 64

2x² – 16x + 32 – x² + 4x – 4 = x² – 16x + 64

x² – 12x + 28 = x² – 16x + 64

• 36 = - 4x
  x = 9

COMPROBACIÓN

2(x - 4)² – (x - 2)² = (x - 8)²

2(9 - 4)² – (9 - 2)² = (9 - 8)²

2(5)² – (7)² = (1)²

50 – 49 = 1

1 = 1

g) (6x + 5)² = (10x - 3)² - (16x + 1)(4x – 1)

[36x² + 60x + 25] = [100x² – 60x + 9] – [64x² – 16x + 4x - 1]

36x² + 60x + 25 = 36x² – 48x + 10

108x = - 15

x = - 15/108

x = - 5/36

COMPROBACIÓN

(6x + 5)² = (10x - 3)² - (16x + 1)(4x – 1)

[6(- 5/36) + 5]² = [10(- 5/36) - 3]² - [16(- 5/36) + 1][4(- 5/36) – 1]

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON COEFICIENTE FRACCIONARIO:

Para resolver estas ecuaciones se debe transformar la ecuación a coeficientes de números enteros y luego proceder a resolverla para encontrar el valor de la incógnita.

Ejemplo: 4/3 y – 5 = 3/2 (y – 5)

4/3y - 5 = (3/2y – 15/2) /.6

8y – 30 = 9y – 45

15 = y

EJERCICIOS RESUELTOS

1) Considerando 3/x + 1 = 5, entonces x = ?

A) 4/3

B) 12

C) 3/4

D) 18

E) 11/12

SOLUCIÓN

3/x + 1 = 5 / x

3 + x = 5x

3 = 4x

x = 3/4

2. Para que la igualdad 1 + x /2 = 1 – x /3 se cumpla, entonces el valor x es:

A) - 1/5

B) 1/5

C) 0,25

D) 2

E) 5

SOLUCIÓN

1 + x /2 = 1 – x /3 / 6

3(1 + x) = 2 (1 – x)

3 + 3x = 2 – 2x

5x = - 1

x = - 1/5

3) Resuelva y encuentre la solución de las ecuaciones con coeficiente fraccionario:

a) x/2 + 6 – x/4 = 2x/5 + 3

b) (6x – 3)/7 + 4 = 2x – x/4

c) (x – 3)/8 – (3 + 5x) / 9 = (2x + 1)/6

d) (5x – 2)/3 – (x - 8 )/4 =(x + 14)/2 – 2

e) 3 – (15 + 3x)/14 = (2x – 5)/7

f) (x – 2)/3 – (12 – x)/2= (5x - 36)/4 – 1

g) (x + 3)/4 – (x – 4)/9 = ½ – (x + 1)/4 + (2x + 1)/9

SOLUCIÓN

a) x/2 + 6 – x/4 = 2x/5 + 3

x + 6 – x = 2x + 3 / . 20

2 4 5

10x + 120 – 5x = 8x + 60

3x = 60

x = 20

COMPROBACIÓN

x/2 + 6 – x/4 = 2x/5 + 3

20/2 + 6 – 20/4 = 40/5 + 3

10 + 6 – 5 = 8 + 3

11 = 11

b) (6x – 3)/7 + 4 = 2x – x/4

6x – 3 + 112 = 2x – x

7 4 /.28

4(6x – 3) + 112 = 56x – 7x

24x – 12 + 112 = 49x

100 = 25x

x = 4

C0MPROBACIÓN

[6(4) – 3]/7 + 4 = 2(4) – (4)/4

21/7 + 4 = 8 – 1

7 = 7

c) (x – 3)/8 – (3 + 5x) / 9 = (2x + 1)/6

(x – 3)– (3 + 5x) = (2x + 1) /.72

8 9 6

9(x – 3) – 8(3 + 5x) = 12(2x + 1)

9x – 27 – 24 – 40x = 24x + 12

- 31x – 24x = 12 + 51

• 55x = 63
  x = - 63/55

COMPROBACIÓN

(x – 3)/8 – (3 + 5x) / 9 = (2x + 1)/6

d) (5x – 2)/3 – (x - 8 )/4 =(x + 14)/2 – 2

(5x – 2) – (x - 8 ) =(x + 14) – 2

3 4 2 /.12

4(5x – 2) – 3(x – 8) = 6(x + 14) – 24

20x – 8 – 3x + 24 = 6x + 84 – 24

17x + 16 = 6x + 60

11x = 44

x = 4

COMPROBACIÓN

(5. 4 – 2) – (4 - 8 ) =(4 + 14) – 2

3 4 2

18 - (-4) = 18 - 2

3 4 2 /.12

4(18) – 3(-4) = 6(18) – 24

72 + 12 = 108 – 24

84 = 84

SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN

ax + b = 0

En una ecuación lineal se tiene que:

I ) Si a ≠ 0, tiene solución única.

II ) Si a = 0 y b = 0, tiene infinitas soluciones

III ) Si a = 0 y b ≠ 0, no tiene solución

Ejemplo:

px/2 + 3x = q ¿Cuál debe ser el valor de p y q para que tenga solución única, infinitas soluciones o no tenga solución?

Despejando x se tiene: x = 2q/p + 6

1) p ≠ - 6 y q cualquier valor, el denominador es distinto de cero, la ecuación única.

2) p = - 6 y q = 0 la ecuación tiene infinitas soluciones.

3) p = - 6 la ecuación no tiene solución

EJERCICIOS RESUELTOS

1) La ecuación de incógnita x, 3x – 2 = - kx + 5 tiene solución única si k es distinto de:

A) - 6

B) - 5

C) 3

D) 0

E) – 3

SOLUCIÓN

3x – 2 = - kx + 5

3x + Kx = 5 + 2

x (3 + k) = 7

x = 7 /(3+k)

La solución debe ser con x ≠ -3

2) Encuentre lo que se pide en cada ejercicio:

2.1.- Dada la ecuación de incógnita x, 5x – 3 = kx + 2 encuentre el valor de k para que tenga solución única.

2.2.- Dada la ecuación de incógnita x, (px + 1)/2 + 3x = q determine los valores de p y q para que tenga solución o soluciones:

a) única b) infinitas soluciones c) no tenga solución.

2.3.- Para qué valores de p la ecuación(p + 2)x = 4x tiene infinitas soluciones.

2.4.- Determine el valor de k para que la ecuación (2k + 3)x =8x+ k no tenga solución.

2.5.- Diga cuánto debe valer el parámetro k para que la ecuación a²x + b²kx = 2 no tenga solución.

2.6.- Cuál debe ser el valor del parámetro k para que l ecuación x(k + 3) = 6. Para que esta tenga solución única.

SOLUCIÓN

2.1.- Dada la ecuación de incógnita x, 5x – 3 = kx + 2 encuentre el valor de k para que tenga solución única.

5x – 3 = kx + 2

5x – kx = 5

x(5 - k) = 5

x = 5 / (5 – k) ; k ≠ 5

COMPROBACIÓN

5x – 3 = kx + 2

2.2.- Dada la ecuación de incógnita x, (px + 1)/2 + 3x = q determine los valores de p y q para que tenga solución o soluciones:

a) única b) infinitas soluciones c) no tenga solución.

SOLUCIÓN

(px + 1)/2 + 3x = q

px + 1) + 3x = q

2 /.2

(Px + 1) + 6x = 2q

px – 6x = 2q – 1

x (p – 6) = 2q – 1

x = 2q – 1 ; p ≠6 y q ≠ 1/2

p – 6

2.3.- Para qué valores de p la ecuación (p + 2)x = 4x tiene infinitas soluciones.

(p + 2)x = 4x

px + 2x = 4x

px – 2x = 0

x (p - 2)= 0

x = 0

ECUACIONES LITERALES DE PRIMER GRADO

Son ecuaciones en las que aparecen una o más letras distintas, además de la incógnita.

Ejemplo:

1) 3x – 6a = 12b / +6a

3x = 12b + 6a

x = 12b + 6a / 3

x = 2a + 6b

2) px + qx = p² – q²

x (p + q) = p² – q²

x = p² – q² / (p + q)

x = (p + q)(p – q) /(p + q)

x = p – q

EJERCICIOS RESUELTOS

1) Si m²x – 3 = m + 9x entonces el valor x es:

A) m

B) 1/m -3

C) 1/m + 3

D) m - 3

E) 2

SOLUCIÓN

m²x – 3 = m + 9x

m²x – 9x = m + 3

x (m² – 9) = m + 3

x = m + 3 /(m + 3)(m -3)

x = 1/m – 3

2) Si 3m = 3/2 entonces el valor de 2m es:

A) 9/4

B) 0

C) 1

D) 2/3

E) 4

SOLUCIÓN

3m = 3/2

3m = 3/2 / 1/3

m = 3/2 1/3

m = ½

2m = 2 ▪ ½

2m = 1

3) En la ecuación a(x + b) = a² + b² + b(x – a) el valor de x es:

A) a - b

B) a + b

C) 2a + b

D) a - 2b

E) a² + b²

SOLUCIÓN

a(x + b) = a² + b² + b(x – a)

ax + ab = a² + b² + bx – ab

ax – bx = a² + b² – 2ab

x (a – b) = a² – 2ab + b²

x = (a – b)²/(a - b)

x = a - b

PROBLEMAS DE PLANTEO

Los problemas de planteo son enunciados verbales, que deben ser traducidos a lenguaje algebraico para el planteamiento de situaciones que se transformarán en una ecuación de primer grado. La habilidad de hacer la correcta interpretación dependerá de la buena lectura comprensiva del enunciado, lo que facilitará la identificación de la incógnita, para plantear la ecuación correspondiente a los datos entregados en el problema.

Ejemplo:

La edad de Ana es el doble que la de Berta, ambas edades suman 36 años. Hallar ambas edades.

Solución:

X es edad de Berta

2x debe ser la edad de Ana (el doble)

x + 2x = 36

3x = 36

x = 12; Berta tiene 12 años y Ana 24 años de edad.

Luego 12 + 24 = 36 años.

EJERCICIOS RESUELTOS

APLICACIÓN A LA GEOMETRÍA

a) El dibujo muestra el área achurada de un cuadro, que se puede escribir como 4(x – 1). ¿Cuál es el valor de x, si el área es 16?

4(x – 1) = 16

4x – 4 = 16

4x = 20

x = 5

b) El área del rectángulo de la figura es (x³ – 6 x² + 12x – 8), si uno de sus lados es (x – 2), ¿cuál es la expresión que representa la medida del otro lado?

x³ – 6 x² + 12x – 8 : x – 2 = x² – 4x - 4

x³ – 2x²

• 4x² + 12x
• 4x² + 8 x
  4x – 8
  4x – 8
  0

Respuesta: x² – 4x - 4

100. Si los lados del rectángulo ABCD son (x + 1) y(x – 1), y su área es x² + 6x – 25, entonces la medida de x es:

(x + 1) (x – 1) = x² + 6x – 25

x² – x + x – 1 = x² + 6x – 25

24 = 6x

x = 24/6

x = 4

COMPROBACIÓN

(x + 1) (x – 1) = x² + 6x – 25

(4 + 1)(4 – 1) = (4)² + 6(4) – 25

5(3) = 16 + 24 – 25

15 = 15

500. Según los datos de la figura, ¿Cuál es la hipotenusa del triángulo?

(x + 4)² + (x + 5)² = h

x² + 8x + 16 + x² + 10x + 25 = h

2x² + 18x + 41 = h

e) Si el perímetro del rectángulo es 48 cm, ¿Cuál es el valor de sus lados y el área de dicho rectángulo?

2(x – 4)

+ 2(x + 5)

2x – 8

+ 2x + 10

4x + 2 -> Perímetro

(x – 4)(x + 5)= x² + 5x – 4x – 20 =x² + x – 20=(x + 5)(x – 4) ->área